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绡悆绔炲僵娓告垙瑙勫垯 : 老師說,初等數學有漏洞!誰來證明下?

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這次分享一個啟發思考的初中數學問題,學過高數的蟲友可以來活學活用了哈。

記得上初中時,很喜歡的數學老師在講無限循環小數時說:初等數學其實有漏洞……  老師接著分析了一波,嗯,聽來還是蠻有道理的。
我一直對數學極感興趣,可我們學的東西竟然還有問題,這可是個大新聞??!  別走,先別忙著奔走相告。聽聽當時我們老師是怎么分析的:


這個問題困擾著我,直到學了高等數學后,利用極限證明了出來,開心了好一陣。
結論是:初等數學沒問題,只是要從高等數學的角度來看。

發帖前上網第一次搜索了這個問題,發現已有很多解答,網絡發達還是有很大益處的。所以證明過程我就不貼了。

不過還是歡迎蟲友們積極思考,并提供自己的解決思路哈。

注:我覺得最后一張圖有點多余,文中刪去后,怎么跑去圖片附件了……
請問下蟲友們這個圖片附件怎么去掉啊,在編輯框找了許久都沒找到

1.png (80.15 KB, 下載次數: 49)

1.png
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szg1140 發表于 2020-3-2 20:59:41
szg1140 發表于 2020-3-2 20:56
如果你不能在A和B之間(A和B是實數)插進一個實數,那么A=B。顯然0.9999999和1之間沒有實數存在。故1可以用 ...

想要嚴格證明的話,可以參閱以下菲赫金哥爾茨的《微積分學教程(上冊)》
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jam 發表于 2020-2-29 21:17:25
極限思想牛逼極了,是量變與質變的關系。法力無邊
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琦六七 發表于 2020-3-9 09:34:46
垂耳的逆旅 發表于 2020-3-7 11:04
可能蟲友忘了,你把1/3用除法運算后就是0.3的無限循環哦。

準確來說,0.9999... 是一個序列, 把他用 1/3 * 3  來處理,其實是有點用自證的操作 ,所以錯位消除可能是個相對比較合理的描述

附上比較嚴謹的證明:
0.999…=1?數到底是什么?李永樂老師講數學公理化

equation.png (1.25 KB, 下載次數: 49)

equation.png
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szg1140 發表于 2020-3-6 18:32:32
垂耳的逆旅 發表于 2020-3-6 07:26
第一句話可以理解。

第二句有點不解,你的意思是:假設0.9無限循環不等于1,然后將0.9無限循環和1取平均 ...

1.99999999999999除以2不就是等于0.999999999999999嗎?所以與我剛才的命題相悖。
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Moooooorty 發表于 2020-2-29 11:17:22
垂耳的逆旅 發表于 2020-2-28 11:23
0.3333333333是指的0.3的無限循環,是等于1/3的

說錯了,是1/3≈0.3。你那個前提就不對啊。
2!
Moooooorty 發表于 2020-2-28 10:26:12
額。。。我記得學的時候1/3≈0.333333333,你這咋還直等于呢。
3!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-2-28 11:23:56
Moooooorty 發表于 2020-2-28 10:26
額。。。我記得學的時候1/3≈0.333333333,你這咋還直等于呢。

0.3333333333是指的0.3的無限循環,是等于1/3的
6!
matlab01 發表于 2020-3-1 09:06:06
不是,0.33333......=1/3,1 = 0.99999.....
沒問題啊
7!
matlab01 發表于 2020-3-1 09:07:15
怎么成悖論了,極限的思想
8!
園丁 發表于 2020-3-1 12:39:42
不矛盾啊,1=0.9循環
9!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-3-1 16:31:10
matlab01 發表于 2020-3-1 09:07
怎么成悖論了,極限的思想


如果你是初中生也能這么想,并且有理有據,那說明你的水平已經不知道高到哪里去了!

那個時候(包括我那位很好的初中數學老師)的一般想法是,0.9再怎么無限循環,照常理,它應該也是小于1的啊,畢竟再怎么循環下去也到不了1。

所以,極限很強大,牛頓、萊布尼茲幾位微積分奠基人,以非直觀思維創立一門影響深遠的學科分支,值得被永遠敬仰。
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10!
szg1140 發表于 2020-3-2 20:56:22
如果你不能在A和B之間(A和B是實數)插進一個實數,那么A=B。顯然0.9999999和1之間沒有實數存在。故1可以用0.99999999999表示。
11!
szg1140 發表于 2020-3-2 20:57:39
szg1140 發表于 2020-3-2 20:56
如果你不能在A和B之間(A和B是實數)插進一個實數,那么A=B。顯然0.9999999和1之間沒有實數存在。故1可以用 ...

這里的0.99999999我指的是0.9循環
13!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-3-3 21:24:35
szg1140 發表于 2020-3-2 20:59
想要嚴格證明的話,可以參閱以下菲赫金哥爾茨的《微積分學教程(上冊)》 ...

很厲害的蟲友啊,這個插入實數的思路之前到沒看到過。

我的思路就是把0.9的無限循環,然后用高等數學的工具——極限,來表示出來,通過求極限即可證明:
0.9的無限循環,這個表示,其實極限就是1!
14!
Godfly 發表于 2020-3-3 23:35:37
實數是有多種表示方法的,0.9循環和1實際上只是同一個數的兩種不同表示方法。
15!
szg1140 發表于 2020-3-6 01:15:18
垂耳的逆旅 發表于 2020-3-3 21:24
很厲害的蟲友啊,這個插入實數的思路之前到沒看到過。

我的思路就是把0.9的無限循環,然后用高等數學的 ...

兩個不等的實數的平均數一定不等于這兩個數其中一個,這句話沒問題吧。那你試試代入0.999999和1。
16!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-3-6 07:26:47
szg1140 發表于 2020-3-6 01:15
兩個不等的實數的平均數一定不等于這兩個數其中一個,這句話沒問題吧。那你試試代入0.999999和1。 ...

第一句話可以理解。

第二句有點不解,你的意思是:假設0.9無限循環不等于1,然后將0.9無限循環和1取平均數,然后得到其結果等于1或0.9無限循環,出現悖論,從而證明假設不成立,故0.9無限循環等于1得證?

如果是這個思路,如果不用分數表示0.9無限循環,我想了解,1和0.9無限循環求得的平均數,應該如何跟1或0.9無限循環比較是否相等。
17!
琦六七 發表于 2020-3-6 08:34:10
前提:1/3=0.3333333...
這一步怎么來的?推導不嚴謹
0.999... * 10 = 9.999...,9.999 - 0.999 = 9
9/9=1

照你的寫法應該是說,0.333... * 3 = 0.999... 即 1/3 * 3 = 1
所以,0.999... = 1
其實你第一步沒證明,0.333... = 1/3
導入這一步其實就相當于 你已經 假定 0.999... = 1 了
19!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-3-7 11:04:21
琦六七 發表于 2020-3-6 08:34
前提:1/3=0.3333333...
這一步怎么來的?推導不嚴謹
0.999... * 10 = 9.999...,9.999 - 0.999 = 9

可能蟲友忘了,你把1/3用除法運算后就是0.3的無限循環哦。
20!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-3-7 11:07:42
szg1140 發表于 2020-3-6 18:32
1.99999999999999除以2不就是等于0.999999999999999嗎?所以與我剛才的命題相悖。

懂了,反證法,真是一個好方法??!  

看來我有些殺雞用牛刀了,用你這個思路給初中生講解就容易理解了。感謝蟲友,又學到一個知識點。
22!
 樓主| 垂耳的逆旅 發表于 2020-3-9 09:41:58
琦六七 發表于 2020-3-9 09:34
準確來說,0.9999... 是一個序列, 把他用 1/3 * 3  來處理,其實是有點用自證的操作 ,所以錯 ...

謝謝蟲友提供思路,李永樂老師是我也比較喜歡的一個老師。哈哈我大學時想的推導思路,用級數表示然后求和取極限跟這不謀而合了。
23!
matlab01 發表于 2020-3-9 13:42:14
szg1140 發表于 2020-3-6 01:15
兩個不等的實數的平均數一定不等于這兩個數其中一個,這句話沒問題吧。那你試試代入0.999999和1。 ...

戴德金分劃
24!
szg1140 發表于 2020-3-10 17:47:09

哈哈,被發現了。
25!
tgy.angs 發表于 2020-3-11 06:51:34
明顯微積分的知識啊,0.99999……無限趨近于1
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